Find the value of

(a) sin 18°

(b) cos 18°

(c) tan 18°

(d) sin 36°

(e) cos 36°

(a) Let = 18°
5θ = 90°
2θ + 3θ = 90°
2θ = 90° − 3θ
sin2θ = sin(90° − 3θ)
sin2θ = cos3θ
2sin2θ cos θ = 4 cos³θ − 3 cos θ
Divide by cos θ (∵ cos18° ≠ 0)

2 sin 2θ = 4 cos²θ − 3
2 sin 2θ = 4(1 − sin²θ) − 3
2 sin 2θ = 4 − 4 sin²θ − 3
2 sin 2θ = 1 − 4 sin²θ
4 sin²θ + 2 sin θ − 1 = 0
sin θ = (−2 ± √(4 + 16)) / 8
sin θ = (−2 ± 2√5) / 8
sin θ = (−1 ± √5) / 4
∴  sin18° = (−1 + √5) / 4
(∵ 18° lies in I quadrant, sin18° > 0)

(b) cos18° = √(1 − sin²18°)
= √(1 − ((√5 − 1)/4)²)
= √((10 + 2√5)/16)
= √(10 + 2√5) / 4

(c) cos36° = cos(2 × 18°)

1 − 2((√5 − 1) / 4)² = (16 − 2(5 + 1 − 2√5)) / 16

= (4 + 4√5) / 16

∴ cos 36° = (√5 + 1) / 4

(d) sin36° = √(1 − cos²36°) = √(1 − ((√5 + 1)/4)²)
= √((16 − 6 − 2√5)/16) = √(10 − 2√5) / 4