मेंसुरेशन के सभी सूत्र – (हिंदी में)
मेंसुरेशन (क्षेत्रमिति) गणित की वह शाखा है जो विभिन्न ज्यामितीय आकृतियों के क्षेत्रफल, परिमाप, आयतन और पृष्ठीय क्षेत्रफल की गणना करती है। यह तालिका सभी महत्वपूर्ण सूत्रों को व्यवस्थित रूप में प्रस्तुत करती है।
द्विविमीय आकृतियाँ (2D Figures)
वृत्त (Circle)
| विशेषता | सूत्र | प्रतीकों का अर्थ |
|---|---|---|
| परिधि (Circumference) | C = 2πr | r = त्रिज्या, π = 22/7 या 3.14159 |
| क्षेत्रफल (Area) | A = πr² | r = त्रिज्या |
| व्यास (Diameter) | d = 2r | d = व्यास, r = त्रिज्या |
| चाप की लंबाई (Arc Length) | l = (θ/360°) × 2πr | θ = केंद्रीय कोण (डिग्री में) |
| त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल (Sector Area) | A = (θ/360°) × πr² | θ = केंद्रीय कोण |
| वृत्तखंड का क्षेत्रफल (Segment Area) | A = (θ/360°) × πr² – (1/2)r²sin(θ) | θ = रेडियन में |
त्रिभुज (Triangle)
| विशेषता | सूत्र | प्रतीकों का अर्थ |
|---|---|---|
| क्षेत्रफल (Area) | A = (1/2) × आधार × ऊंचाई | आधार = b, ऊंचाई = h |
| हेरॉन का सूत्र | A = √[s(s-a)(s-b)(s-c)] | s = अर्ध-परिमाप, a,b,c = भुजाएं |
| अर्ध-परिमाप | s = (a+b+c)/2 | a,b,c = तीनों भुजाएं |
| परिमाप (Perimeter) | P = a + b + c | a,b,c = तीनों भुजाएं |
| समकोण त्रिभुज का क्षेत्रफल | A = (1/2) × लंब × आधार | लंब और आधार = समकोण की भुजाएं |
| समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल | A = (√3/4) × a² | a = भुजा की लंबाई |
आयत (Rectangle)
| विशेषता | सूत्र | प्रतीकों का अर्थ |
|---|---|---|
| क्षेत्रफल (Area) | A = लंबाई × चौड़ाई | l = लंबाई, b = चौड़ाई |
| परिमाप (Perimeter) | P = 2(l + b) | l = लंबाई, b = चौड़ाई |
| विकर्ण (Diagonal) | d = √(l² + b²) | d = विकर्ण |
वर्ग (Square)
| विशेषता | सूत्र | प्रतीकों का अर्थ |
|---|---|---|
| क्षेत्रफल (Area) | A = a² | a = भुजा की लंबाई |
| परिमाप (Perimeter) | P = 4a | a = भुजा की लंबाई |
| विकर्ण (Diagonal) | d = a√2 | a = भुजा की लंबाई |
समांतर चतुर्भुज (Parallelogram)
| विशेषता | सूत्र | प्रतीकों का अर्थ |
|---|---|---|
| क्षेत्रफल (Area) | A = आधार × ऊंचाई | आधार = b, ऊंचाई = h |
| परिमाप (Perimeter) | P = 2(a + b) | a, b = आसन्न भुजाएं |
समचतुर्भुज (Rhombus)
| विशेषता | सूत्र | प्रतीकों का अर्थ |
|---|---|---|
| क्षेत्रफल (Area) | A = (1/2) × d₁ × d₂ | d₁, d₂ = विकर्ण |
| क्षेत्रफल (वैकल्पिक) | A = भुजा × ऊंचाई | भुजा = a, ऊंचाई = h |
| परिमाप (Perimeter) | P = 4a | a = भुजा की लंबाई |
समलंब (Trapezium)
| विशेषता | सूत्र | प्रतीकों का अर्थ |
|---|---|---|
| क्षेत्रफल (Area) | A = (1/2) × (a + b) × h | a, b = समांतर भुजाएं, h = ऊंचाई |
| परिमाप (Perimeter) | P = a + b + c + d | a, b, c, d = चारों भुजाएं |
त्रिविमीय आकृतियाँ (3D Figures)
घन (Cube)
| विशेषता | सूत्र | प्रतीकों का अर्थ |
|---|---|---|
| आयतन (Volume) | V = a³ | a = भुजा की लंबाई |
| पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल (TSA) | TSA = 6a² | a = भुजा की लंबाई |
| वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल (CSA) | CSA = 4a² | a = भुजा की लंबाई |
| विकर्ण (Diagonal) | d = a√3 | a = भुजा की लंबाई |
घनाभ (Cuboid)
| विशेषता | सूत्र | प्रतीकों का अर्थ |
|---|---|---|
| आयतन (Volume) | V = l × b × h | l = लंबाई, b = चौड़ाई, h = ऊंचाई |
| पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल (TSA) | TSA = 2(lb + bh + hl) | l, b, h = आयाम |
| वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल (CSA) | CSA = 2h(l + b) | l, b, h = आयाम |
| विकर्ण (Diagonal) | d = √(l² + b² + h²) | l, b, h = आयाम |
गोला (Sphere)
| विशेषता | सूत्र | प्रतीकों का अर्थ |
|---|---|---|
| आयतन (Volume) | V = (4/3)πr³ | r = त्रिज्या |
| पृष्ठीय क्षेत्रफल (Surface Area) | SA = 4πr² | r = त्रिज्या |
| व्यास (Diameter) | d = 2r | r = त्रिज्या |
अर्धगोला (Hemisphere)
| विशेषता | सूत्र | प्रतीकों का अर्थ |
|---|---|---|
| आयतन (Volume) | V = (2/3)πr³ | r = त्रिज्या |
| वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल (CSA) | CSA = 2πr² | r = त्रिज्या |
| पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल (TSA) | TSA = 3πr² | r = त्रिज्या |
बेलन (Cylinder)
| विशेषता | सूत्र | प्रतीकों का अर्थ |
|---|---|---|
| आयतन (Volume) | V = πr²h | r = त्रिज्या, h = ऊंचाई |
| वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल (CSA) | CSA = 2πrh | r = त्रिज्या, h = ऊंचाई |
| पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल (TSA) | TSA = 2πr(r + h) | r = त्रिज्या, h = ऊंचाई |
शंकु (Cone)
| विशेषता | सूत्र | प्रतीकों का अर्थ |
|---|---|---|
| आयतन (Volume) | V = (1/3)πr²h | r = त्रिज्या, h = ऊंचाई |
| तिर्यक ऊंचाई (Slant Height) | l = √(r² + h²) | r = त्रिज्या, h = ऊंचाई |
| वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल (CSA) | CSA = πrl | r = त्रिज्या, l = तिर्यक ऊंचाई |
| पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल (TSA) | TSA = πr(r + l) | r = त्रिज्या, l = तिर्यक ऊंचाई |
शंकु का छिन्नक (Frustum of Cone)
| विशेषता | सूत्र | प्रतीकों का अर्थ |
|---|---|---|
| आयतन (Volume) | V = (1/3)πh(r₁² + r₂² + r₁r₂) | r₁, r₂ = त्रिज्याएं, h = ऊंचाई |
| तिर्यक ऊंचाई (Slant Height) | l = √[h² + (r₁ – r₂)²] | r₁, r₂ = त्रिज्याएं |
| वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल (CSA) | CSA = π(r₁ + r₂)l | r₁, r₂ = त्रिज्याएं, l = तिर्यक ऊंचाई |
| पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल (TSA) | TSA = π[r₁² + r₂² + (r₁ + r₂)l] | सभी प्रतीक ऊपर के अनुसार |
विशेष सूत्र (Special Formulas)
नियमित बहुभुज (Regular Polygon)
| विशेषता | सूत्र | प्रतीकों का अर्थ |
|---|---|---|
| आंतरिक कोण | θ = (n-2) × 180°/n | n = भुजाओं की संख्या |
| बाह्य कोण | α = 360°/n | n = भुजाओं की संख्या |
| परिमाप | P = n × a | n = भुजाओं की संख्या, a = भुजा की लंबाई |
चक्रीय चतुर्भुज (Cyclic Quadrilateral)
| विशेषता | सूत्र | प्रतीकों का अर्थ |
|---|---|---|
| ब्रह्मगुप्त का सूत्र | A = √[(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)] | s = अर्ध-परिमाप, a,b,c,d = भुजाएं |
| अर्ध-परिमाप | s = (a+b+c+d)/2 | a,b,c,d = चारों भुजाएं |
महत्वपूर्ण टिप्पणियाँ
मुख्य बिंदु:
- सभी सूत्रों में प्रयुक्त इकाइयाँ समान होनी चाहिए
- π (पाई) का मान = 22/7 या 3.14159 (समस्या के अनुसार)
- क्षेत्रफल की इकाई वर्ग इकाई में होती है (जैसे cm², m²)
- आयतन की इकाई घन इकाई में होती है (जैसे cm³, m³)
- परिमाप/परिधि की इकाई रैखिक इकाई में होती है (जैसे cm, m)
परीक्षा की दृष्टि से महत्वपूर्ण:
- त्रिभुज के लिए हेरॉन का सूत्र अत्यंत महत्वपूर्ण है
- समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल सूत्र याद रखें
- शंकु के छिन्नक के सूत्र कक्षा 10 और प्रतियोगी परीक्षाओं में आते हैं
- सभी 3D आकृतियों के लिए TSA और CSA में अंतर समझें
Frequently Asked Questions about Mensuration
प्रश्न 1: मेंसुरेशन क्या है और इसका महत्व क्या है?
मेंसुरेशन (क्षेत्रमिति) गणित की वह शाखा है जो विभिन्न ज्यामितीय आकृतियों के क्षेत्रफल, परिमाप, आयतन और पृष्ठीय क्षेत्रफल की माप से संबंधित है। यह दैनिक जीवन में अत्यंत उपयोगी है, जैसे कमरे की पेंटिंग के लिए आवश्यक पेंट की मात्रा जानना, भूमि का क्षेत्रफल मापना, टंकी में पानी की क्षमता निर्धारित करना आदि। शैक्षणिक दृष्टि से यह कक्षा 8 से 12 तक के पाठ्यक्रम का महत्वपूर्ण भाग है और सभी प्रतियोगी परीक्षाओं जैसे SSC, Bank, Railway, और अन्य सरकारी परीक्षाओं में इससे प्रश्न पूछे जाते हैं।
प्रश्न: 2D और 3D आकृतियों में क्या अंतर है?
2D (द्विविमीय) आकृतियाँ वे होती हैं जिनमें केवल दो आयाम होते हैं – लंबाई और चौड़ाई। इनका केवल क्षेत्रफल और परिमाप होता है, आयतन नहीं। उदाहरण: वृत्त, त्रिभुज, आयत, वर्ग आदि। इन्हें समतल आकृतियाँ भी कहते हैं। दूसरी ओर, 3D (त्रिविमीय) आकृतियों में तीन आयाम होते हैं – लंबाई, चौड़ाई और ऊंचाई। इनका आयतन और पृष्ठीय क्षेत्रफल होता है। उदाहरण: गोला, घन, घनाभ, बेलन, शंकु आदि। इन्हें ठोस आकृतियाँ भी कहते हैं। सरल शब्दों में, 2D आकृतियाँ कागज पर बनाई जा सकती हैं जबकि 3D आकृतियों को हाथ में पकड़ा जा सकता है।
प्रश्न 3: पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल (TSA) और वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल (CSA) में क्या अंतर है?
वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल (Curved Surface Area – CSA) किसी ठोस आकृति के केवल वक्र भाग या पार्श्व सतह का क्षेत्रफल होता है। इसमें ऊपरी और निचली समतल सतहें शामिल नहीं होती हैं। उदाहरण के लिए, बेलन में CSA = 2πrh (केवल गोलाई वाली सतह)। पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल (Total Surface Area – TSA) में आकृति की सभी सतहों का क्षेत्रफल शामिल होता है। बेलन में TSA = 2πr(r + h), जिसमें दोनों वृत्ताकार आधार भी शामिल हैं। व्यावहारिक उपयोग: यदि आप बेलनाकार टंकी के चारों ओर पेंट करना चाहते हैं (ऊपर और नीचे छोड़कर) तो CSA का उपयोग करें। यदि पूरी टंकी को पेंट करना है तो TSA का उपयोग करें।
प्रश्न 4: मेंसुरेशन के सूत्र कैसे याद करें?
उत्तर: मेंसुरेशन के सूत्रों को याद रखने के लिए निम्नलिखित तरीके अपनाएं:
1. नियमित लेखन अभ्यास: प्रत्येक सूत्र को रोजाना 10 बार लिखें और बोल-बोलकर दोहराएं।
2. पैटर्न पहचानें: जैसे सभी वृत्त आधारित आकृतियों (गोला, बेलन, शंकु) में πr² होता है।
3. व्यावहारिक अनुप्रयोग: वास्तविक वस्तुओं को देखकर उनके सूत्र याद करें (गेंद = गोला, डिब्बा = बेलन)।
4. फ्लैशकार्ड बनाएं: एक तरफ आकृति और दूसरी तरफ सूत्र लिखें।
5. तुलनात्मक अध्ययन: समान आकृतियों के सूत्रों की तुलना करें (घन vs घनाभ)।
6. नियमित अभ्यास: प्रतिदिन कम से कम 5-10 समस्याएं हल करें।
7. समूह अध्ययन: मित्रों के साथ मिलकर एक-दूसरे से सूत्र पूछें।
प्रश्न 5: परीक्षा में सबसे ज्यादा कौन से मेंसुरेशन सूत्र पूछे जाते हैं?
उत्तर: बोर्ड परीक्षाओं और प्रतियोगी परीक्षाओं में निम्नलिखित सूत्र सबसे अधिक महत्वपूर्ण हैं:
2D आकृतियों के लिए:
- वृत्त का क्षेत्रफल और परिधि (πr², 2πr)
- त्रिभुज के लिए हेरॉन का सूत्र
- समलंब का क्षेत्रफल [(a+b)h/2]
- समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल [(√3/4)a²]
3D आकृतियों के लिए:
- गोले का आयतन और पृष्ठीय क्षेत्रफल [(4/3)πr³, 4πr²]
- बेलन का आयतन [πr²h]
- शंकु का आयतन [(1/3)πr²h]
- शंकु का छिन्नक का आयतन [(1/3)πh(r₁²+r₂²+r₁r₂)]
- घन और घनाभ के सभी सूत्र
विशेष टिप: मिश्रित समस्याएं जिनमें दो या अधिक आकृतियों का संयोजन हो, वे परीक्षा में सबसे अधिक अंक लेकर आती हैं।
प्रश्न 6: मेंसुरेशन का वास्तविक जीवन में क्या उपयोग है?
उत्तर: मेंसुरेशन केवल किताबी ज्ञान नहीं है, बल्कि दैनिक जीवन में इसका व्यापक उपयोग है:
1. निर्माण कार्य: घर बनाते समय सीमेंट, ईंट, पेंट की मात्रा निर्धारित करने में, कमरे के फर्श का क्षेत्रफल जानने में।
2. कृषि: खेत का क्षेत्रफल मापना, बीज और उर्वरक की आवश्यक मात्रा की गणना।
3. इंजीनियरिंग: पाइप की क्षमता, टंकी में तेल या पानी की मात्रा निर्धारित करना।
4. पैकेजिंग उद्योग: डिब्बों और बक्सों की क्षमता की गणना।
5. वस्त्र उद्योग: कपड़े की आवश्यक मात्रा जानना।
6. खेल: खेल के मैदानों का क्षेत्रफल और परिमाप निर्धारित करना।
7. व्यापार: भूमि की कीमत उसके क्षेत्रफल के आधार पर तय होती है।
8. दैनिक जीवन: कमरे में कालीन बिछाने, दीवार पर पेंट करने या पानी की टंकी की क्षमता जानने में।